Question

【題目】培養(yǎng)某種水生植物需要定期向培養(yǎng)植物的水中加入物質(zhì)，已知向水中每投放1個(gè)單位的物質(zhì)，（單位：天）時(shí)刻后水中含有物質(zhì)的量增加，與的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為關(guān)系可近似地表示為.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中含有物質(zhì)的量不低時(shí)，物質(zhì)才能有效發(fā)揮作用.

（1）若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)，計(jì)算物質(zhì)能持續(xù)有效發(fā)揮作用幾天？

（2）若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)，第8天再投放1個(gè)單位的物質(zhì)，試判斷第8天至第12天，水中所含物質(zhì)的量是否始終不超過，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物質(zhì)的量始終不超過.見解析

【解析】

（1）由題可知，分類討論求解滿足時(shí)的的范圍，即可得出在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)，物質(zhì)能持續(xù)有效發(fā)揮作用的天數(shù)；

（2）根據(jù)已知求出函數(shù)解析式，利用基本不等式即可求得當(dāng)時(shí)，，從而得出結(jié)論.

解：（1）由題意，(單位：天)時(shí)刻后水中含有物質(zhì)的量為：

，

由于當(dāng)水中含有物質(zhì)的量不低時(shí)，物質(zhì)才能有效發(fā)揮作用，

即需，

則當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，，

解得：，

所以若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)，物質(zhì)能持續(xù)有效發(fā)揮作用的時(shí)間為：8-2=6天.

（2）設(shè)第天水中所含物質(zhì)的量為，

則，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，

即當(dāng)時(shí)，，

所以第8天至第12天，水中所含物質(zhì)的量始終不超過.