Question

【題目】已知函數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：，；

（2）若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而得證；

（2）先求導(dǎo)數(shù)，再討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性及極值情況，再求解即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，則，

當(dāng)時(shí)，，則，又因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，，僅時(shí)，，

所以在上是單調(diào)遞減，所以，即.

（2），因?yàn)?/span>，所以，，

①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，，令，

則在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，，

當(dāng)，即時(shí)，，，

所以在上單調(diào)遞增，，，

所以，，即，所以單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，存在，使，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在處取極大值，

因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，，

若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，即存在兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則得，得，得，

此時(shí)存在，使得，，

當(dāng)，，，，，，即在處取得極小值，在處取得極大值，，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，則此時(shí).

綜上可知若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：.