Question

【題目】已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為，且一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，以線段為鄰邊作平行四邊形，其中點(diǎn)在橢圓上， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意可求得， ，∴橢圓的方程為.

(2)首先討論斜率存在的情況，點(diǎn)到直線的距離的最小值為.

當(dāng)斜率不存在時(shí)額外討論可得結(jié)論.

試題解析：

解：（1）由已知設(shè)橢圓的方程為，則.

由，得， ， ，∴橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

則由消去得.

.①

設(shè)點(diǎn)， ， 的坐標(biāo)分別是， ， .

∵四邊形為平行四邊形，∴，

，

由于點(diǎn)在橢圓上，∴，

從而，化簡得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足①式.

又點(diǎn)到直線的距離為.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對稱性知，點(diǎn)一定在軸上，

從而點(diǎn)的坐標(biāo)為或，直線的方程為，∴點(diǎn)到直線的距離為1.

∴點(diǎn)到直線的距離的最小值為.