Question

【題目】已知函數(shù)是二次函數(shù)，不等式的解集為，且在區(qū)間上的最小值是4.

（1）求的解析式；

（2）求在上的最大值、最小值的解析式；

（3）設(shè)，若對(duì)任意均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；

（2），；

（3）或.

【解析】

(1)根據(jù)題意設(shè)，再根據(jù)在區(qū)間上的最小值是4，可以得出的解析式；

(2)對(duì)稱軸是否在區(qū)間內(nèi)，進(jìn)行討論可得最大值，在討論和誰離對(duì)稱軸遠(yuǎn)討論可得最小值；

(3) ，恒成立，等價(jià)與對(duì)恒成立，求出右邊的最小值，可得關(guān)于的不等式，即可求得結(jié)論.

(1)解集為，

設(shè)，且，

對(duì)稱軸，開口向下，

，解得，

所以；

(2)由(1)知，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，

，

又當(dāng)且 即時(shí)，，

當(dāng)且，即時(shí)，，

（3），

恒成立，

即對(duì)恒成立，化簡(jiǎn)，即對(duì)

恒成立，

令，記，

則，

二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為，

當(dāng)時(shí)，故，

即，

解得或 .