Question

【題目】設函數f（x）= ，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有兩個不相等的實根x1 ， x2 ， 則e e 的最大值為（ ）
A.
B.2（ln2﹣1）
C.
D.ln2﹣1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：令g（x）=f（f（x））= ，

∵y=f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增，

∴g（x）=f（f（x））在（﹣∞，0）上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增．

做出g（x）=f（f（x））的函數圖象如圖所示：

∵方程f（f（x））=a（a＞0）恰有兩個不相等的實根x1，x2，

不妨設x1＜x2，則x1≤﹣1，x2≥0，且f（x1）=f（x2），即x12=e ．

∴e e =e x12，

令h（x1）=e x12，則h′（x1）=e （x12+2x1）=e x1（x1+2），

∴當x1＜﹣2時，h′（x1）＞0，當﹣2＜x1＜﹣1時，h′（x1）＜0，

∴h（x1）在（﹣∞，﹣2）上單調遞增，在（﹣2，﹣1）上單調遞減，

∴當x1=﹣2時，h（x1）取得最大值h（﹣2）= ．

故選C．