Question

【題目】某工藝品廠要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖Ⅰ所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號(hào)的長方形材料如圖Ⅱ所示，其周長為4m，這種材料沿其對(duì)角線折疊后就出現(xiàn)圖Ⅰ的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點(diǎn)P，設(shè)△ADP的面積為
S2 ， 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 ．
（Ⅰ）設(shè)AB=xm，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（Ⅱ）求面積S2最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長和寬？
（Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長和寬？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2﹣x，因?yàn)閤＞2﹣x，故1＜x＜2．
設(shè)DP=y，則PC=x﹣y，
因?yàn)椤鰽DP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，
由PA2=AD2+DP2 ， 得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2 ， ．
（Ⅱ）記△ADP的面積為S2 ， 則
= ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，S2取得最大值．
故當(dāng)材料長為 ，寬為 時(shí)，S2最大．（Ⅲ） ，1＜x＜2．
于是 ，∴ ．
關(guān)于x的函數(shù)（S1+2S2）在 上遞增，在 上遞減，
所以當(dāng) 時(shí)，S1+2S2取得最大值．
故當(dāng)材料長為 m，寬為 m時(shí)，S1+2S2最大
【解析】（Ⅰ）設(shè)AB=xm，利用△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，結(jié)合PA2=AD2+DP2 ， 即可用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；（Ⅱ）利用基本不等式求面積S2最大時(shí)，設(shè)計(jì)材料的長和寬；（Ⅲ）求面積（S1+2S2），利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出最大時(shí)，設(shè)計(jì)材料的長和寬．