Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點D在棱AB上．

(1)若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD；
（2）當時，求二面角的余弦值．

Answer 1

(1)詳見解析；（2）

試題分析：（1）要證明AC₁∥平面B₁CD，根據(jù)線面的判定定理，只要轉(zhuǎn)換證明DE//AC₁即可；
（2）可以以C為原點建立空間直角坐標系，求出平面BCD的法向量與平面B₁CD的法向量，然后利用向量夾角公式即可.
試題解析：解:(1)證明：連結(jié)BC₁，交B₁C于E，連接DE．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，

所以側(cè)面BB₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，所以DE//AC₁．
因為DE平面B₁CD，AC₁平面B₁CD，所以AC₁∥平面B₁CD．6分
（2）由（1）知AC⊥BC，如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．

則B(3,0,0)，A(0,4,0)，A1(0,4,4)，B1(3,0,4)．設(shè)D(a,b,0)（，），因為點D在線段AB上，且，即．
所以，，，,．
平面BCD的法向量為．設(shè)平面B₁CD的法向量為，
由，，得，
所以，，.所以．
所以二面角的余弦值為．12分