Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2|x|．
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）依圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并對函數(shù)f（x）在（-1，0）上的單調(diào)性加以證明．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)是偶函數(shù)，定義域是R，
∵f（-x）=（-x）²-2|-x|=x²-2|x|=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）畫出函數(shù)f（x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

圖象，
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)，如圖：
單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），
遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）．
證明：當(dāng)x∈（-1，0）時，∵f（x）=x²+2x，
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜0，則x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂+2＞0，
∵f(x1)-f(x2)=(

x

21

-

x

22

)+2(x1-x2)=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以，函數(shù)f（x）在（-1，0）上是單調(diào)遞增函數(shù)．