Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

（1）當(dāng)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)時(shí)，求的極小值；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若對(duì)任意，恒成立，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（3），．

【解析】

（1）時(shí)，，利用判定的增減性并求出的極小值；

（2）由函數(shù)，令，求出；設(shè)，求出的值域，討論的取值，對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)情況；

（3）由，恒成立，等價(jià)于恒成立，即在上單調(diào)遞減；，求出的取值范圍．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

；

當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；

時(shí)，取得極小值為；

（2）函數(shù)，

令，得；

設(shè)，

；

當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)；

是的極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，

是的最大值點(diǎn)，

的最大值為（1）；

又，結(jié)合的圖象，如圖；

可知：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

（3）對(duì)任意，恒成立，

等價(jià)于恒成立；

設(shè)，

則．

在上單調(diào)遞減；

在上恒成立，

，

；

對(duì)于，僅在時(shí)成立；

的取值范圍是，．