Question

【題目】已知橢圓的離心率為, 傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與圓相切.

(1)求橢圓 的方程；

(2)若直線與圓相切于點(diǎn), 且交橢圓于兩點(diǎn)，射線于橢圓交于點(diǎn)，設(shè)的面積與的面積分別為.

①求的最大值； ②當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)已知得到a,b,c的方程，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2) ①先把直線和橢圓的方程聯(lián)立計(jì)算出，再計(jì)算出弦長(zhǎng)|AB|和,即得的最大值；②先計(jì)算出，最后計(jì)算.

(1)依題直線的斜率.設(shè)直線的方程為,

依題有：

(2)由直線與圓相切得： .

設(shè).將直線代入橢圓的方程得：

且 .

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,故的面積為：

,

當(dāng).等號(hào)成立.故的最大值為1.

設(shè)，由直線與圓相切于點(diǎn)，可得，

.

.