Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，和平面內(nèi)一點(diǎn)（），過(guò)點(diǎn)任作直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)，設(shè)直線， ， 的斜率分別為， ， ， ，試求， 滿足的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）因?yàn)殡x心率，所以，又以為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，所以，再結(jié)合，求得，，即求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線，直線與橢圓的交點(diǎn)， ，所以，又，所以，所以的關(guān)系式為.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓整理得： ，根系關(guān)系略，所以化簡(jiǎn)得，結(jié)合韋達(dá)定理得，所以，所以的關(guān)系式為.

試題解析：（1）因?yàn)殡x心率，所以，

又因?yàn)橐?/span>為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，

所以，即

因?yàn)?/span>，

所以

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由，解得，不妨設(shè)， ，

因?yàn)?/span>，所以，所以的關(guān)系式為.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓整理得： ，根系關(guān)系略，所以

所以，所以的關(guān)系式為.