Question

【題目】已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，運(yùn)用直線的斜率公式可得，再由離心率公式求解，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線，設(shè)，，將直線方程代入橢圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，得到三角形的面積的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求解的值，從而得到直線的方程.

試題解析：（1）設(shè)，由條件知，得，又，

所以，，故的方程.

（2）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線，設(shè)，，

將代入，得；

當(dāng)，即時(shí)，，

從而.

又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.

設(shè)，則，，

當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，且滿足，

所以當(dāng)的面積最大時(shí)，的方程為：或.