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        1. 【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=4,an+1= ,n∈N* , Sn為{an}的前n項和.
          (Ⅰ)求證:n∈N*時,an>an+1;
          (Ⅱ)求證:n∈N*時,2≤Sn﹣2n<

          【答案】證明:(I)n≥2時,作差:an+1﹣an= = ,

          ∴an+1﹣an與an﹣an1同號,

          由a1=4,可得a2= = ,可得a2﹣a1<0,

          ∴n∈N*時,an>an+1

          (II)∵2 =6+an,∴ =an﹣2,即2(an+1﹣2)(an+1+2)=an﹣2,①

          ∴an+1﹣2與an﹣2同號,

          又∵a1﹣2=2>0,∴an>2.

          ∴Sn=a1+a2+…+an≥4+2(n﹣1)=2n+2.

          ∴Sn﹣2n≥2.

          由①可得: = ,

          因此an﹣2≤(a1﹣2) ,即an≤2+2×

          ∴Sn=a1+a2+…+an≤2n+2× <2n+

          綜上可得:n∈N*時,2≤Sn﹣2n<


          【解析】(I)n≥2時,作差:an+1﹣an= ,可得an+1﹣an與an﹣an1同號,由a2﹣a1<0,即可證明:n∈N*時,an>an+1.(II)2 =6+an,∴可得=an﹣2,即2(an+1﹣2)(an+1+2)=an﹣2,因此an+1﹣2與an﹣2同號,可得Sn=a1+a2+…+an≥4+2(n﹣1).即可證明左邊.由: = ,可得:an≤2+2× .利用等比數(shù)列的求和公式化簡即可證明右邊.
          【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

          練習(xí)冊系列答案
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