Question

【題目】已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，是拋物線E上一點(diǎn)，且．

1求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2設(shè)點(diǎn)B是拋物線E上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，直線AB與直線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線E于點(diǎn)M，設(shè)直線BM的方程為，k，b均為實(shí)數(shù)，請用k的代數(shù)式表示b，并說明直線BM過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

1利用拋物線的定義與性質(zhì)求p的值，即可寫出拋物線方程；2設(shè)點(diǎn)，，由直線BM的方程和拋物線方程聯(lián)立，消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系和A，P，B三點(diǎn)共線，化簡整理可得BM的方程，從而求出直線BM所過的定點(diǎn)．

解：1根據(jù)題意知，，①

因?yàn)?/span>，所以，②

聯(lián)立①②解得，；

所以拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

2設(shè)，；

又直線BM的方程為，代入，得；

由根與系數(shù)的關(guān)系，得，；③

由軸及點(diǎn)P在直線上，得，

則由A，P，B三點(diǎn)共線，得，

整理，得；

將③代入上式并整理，得，

由點(diǎn)B的任意性，得，即，

所以；

即直線BM恒過定點(diǎn)．