Question

已知f(n)＝1＋n∈N^?)，g(n)＝2(－1)(n∈N^?)．
(1)當n＝1，2，3時，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結論)；
(2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

(1)當n＝1時，f(1)>g(1)；當n＝2時，f(2)>g(2)；當n＝3時，f(3)>g(3)．(2)f(n)>g(n)(n∈N^*)，

(1)當n＝1時，f(1)>g(1)；當n＝2時，f(2)>g(2)；當n＝3時，f(3)>g(3)．
(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N^*)，即1＋>2(－1)(n∈N^*)．
下面用數學歸納法證明：①當n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)>g(1)．
②假設當n＝k時，猜想成立，即1＋>2(－1)．
則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝1＋＋>2(－1)＋＝2＋－2，而g(k＋1)＝2(－1)＝2－2，
下面轉化為證明：.
只要證：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2，
需證：(2k＋3)²>4(k＋2)(k＋1)，即證：4k²＋12k＋9>4k²＋12k＋8，此式顯然成立．
所以，當n＝k＋1時猜想也成立．綜上可知：對n∈N^*，猜想都成立，
即1＋(n∈N^*)成立．