Question

【題目】如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)P，，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）根據(jù)題意得到，將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合，得到關(guān)于的方程組，解出，得到答案；（2）根據(jù)得到，從而得到，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)與的關(guān)系，從而得到，得到，再結(jié)合直線與橢圓聯(lián)立后得到的，，從而得到關(guān)于的斜率的方程，得到答案.

解（1）因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，

所以，

把點(diǎn)代入橢圓方程，得到

而在橢圓中，

解得，

所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)交橢圓于另一點(diǎn)M，

因?yàn)?/span>，，

所以，

所以，所以，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以

所以得到，

設(shè)，

所以，

設(shè)直線，代入橢圓方程得

，

，，

所以有

所以，

解得，

由，可知，

故.

所以的斜率為1．