Question

【題目】某公園計(jì)劃在矩形空地上建造一個(gè)扇形花園如圖①所示，矩形的邊與邊的長(zhǎng)分別為48米與40米，扇形的圓心為中點(diǎn)，扇形的圓弧端點(diǎn)，分別在與上，圓弧的中點(diǎn)在上．

（1）求扇形花園的面積（精確到1平方米）；

（2）若在扇形花園內(nèi)開(kāi)辟出一個(gè)矩形區(qū)域為花卉展覽區(qū)．如圖②所示，矩形的四條邊與矩形的對(duì)應(yīng)邊平行，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)，在扇形的弧上．某同學(xué)猜想：當(dāng)矩形面積最大時(shí)，兩矩形與的形狀恰好相同（即長(zhǎng)與寬之比相同），試求花卉展覽區(qū)面積的最大值，并判斷上述猜想是否正確（請(qǐng)說(shuō)明理由）．

Answer 1

【答案】(1) 平方米 (2) 花卉展覽區(qū)面積的最大值為平方米，該同學(xué)的猜想是正確的.

【解析】

(1) 設(shè)，則,在，求出角，利用扇形的面積公式可求出扇形的面積.
(2) 在圖②中，連，設(shè),在中求出，又，所以矩形的面積化簡(jiǎn)可得，從而可得出答案.

(1)設(shè)，則，

在直角三角形中，,.

所以.

所以扇形花園的面積約為平方米.

(2)在圖②中，連，設(shè)，.

則在中，由，可得

連接交于點(diǎn)，則,.

所以

所以矩形的面積

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，取最大值.

的最大值為，所以花卉展覽區(qū)面積的最大值為平方米.

當(dāng)的面積最大時(shí)，

此時(shí)從而兩矩形長(zhǎng)和寬之比相等.

所以兩矩形的形狀相同，即該同學(xué)的猜想是正確的.