Question

已知橢圓:的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，且的離心率，又為橢圓的左右頂點(diǎn)，其上任一點(diǎn)（異于）.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線交直線于點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線交軸于點(diǎn)，求的坐標(biāo);
(Ⅲ)求點(diǎn)在直線上射影的軌跡方程.

Answer 1

（1） ；（2） ；（3） 

(1) 由題意知,易知橢圓方程為
(2)本小題的求解要注意利用平面幾何的性質(zhì)得到，另外要注意應(yīng)用,點(diǎn)M在橢圓上等幾何要素建立方程求解即可.
(3) 點(diǎn)在直線上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由得為直角三角形，設(shè)E為中點(diǎn)，則==，，因此H點(diǎn)的軌跡是以E為圓心，半徑為的圓去掉與x軸的交點(diǎn).解：(Ⅰ)由題意知,故橢圓方程為..........3分

(Ⅱ)設(shè)，則由圖知，得,故.
設(shè),由得：，.
又在橢圓上，故，化簡(jiǎn)得，即...............8分
(Ⅲ)點(diǎn)在直線上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由得為直角三角形，設(shè)E為中點(diǎn)，則==，，因此H點(diǎn)的軌跡方程為            ...................13分