Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上任意一點(diǎn)（點(diǎn)第一象限內(nèi)），過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)、．
（1）證明：；
（2）若橢圓離心率為，求線段長度的最大值．

Answer 1

（1）略（2）2

(1) 設(shè)，先利用焦半徑公式表示,然后再想法求出|PQ|，也用x₁表示出來.相加即可.
(2)根據(jù)離心率可求出a值，進(jìn)而橢圓方程確定，然后設(shè)直線的方程為,由直線QR與圓O相切，進(jìn)而得到,
然后直線與橢圓方程聯(lián)立，消y之后，表示出,
則,，,因而確定當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2.
（1）設(shè)，得，…………………3分
由是圓的切線，，
注意到，，……………6分
所以．                           ……………7分
（2）由題意，，．     …………………………9分
方法一：設(shè)直線的方程為，點(diǎn)在第一象限，．
由直線與圓相切，．  …………………………11分
由，消得，
設(shè)，則．
由（1）知，，…14分
，．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)直線的方程為，過焦點(diǎn)．
方法二：設(shè)，則直線的方程為． ……11分
由，消得，
則，，，
由（1）知，，……14分
，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)，直線過焦點(diǎn)． 
方法三：由（1）同理可求，則，………11分
，
當(dāng)且僅當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，從而．