Question

已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)任作直線，設(shè)交于，兩點(diǎn)（異于的左、右頂點(diǎn)），再分別過點(diǎn)，作的切線，，記與相交于點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：點(diǎn)在一條定直線上.

Answer 1

（1）；（2）.

(1)根據(jù)離心率和b，可求出a,c的值.
(2) 解本題的關(guān)鍵是，
=……=
然后借助韋達(dá)定理解決即可.
解：（1）由題意，得，，…2分 
又，                  ………4分                
解得，，             ………5分
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；………6分  
（2）當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在軸上方，即時(shí)，，
則，            ………………………8分
再由橢圓的對(duì)稱性，當(dāng)點(diǎn)在軸下方，，即時(shí)，仍有.
因此橢圓在點(diǎn)的切線的斜率.     …………………10分
①當(dāng)直線軸時(shí)，，，從而切線，的方程分別為
，，則點(diǎn)；   ……………11分
②當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)，
由，消去，得，
則，.                             ……………13分
于是，


從而方程可化為，而，所以.

即點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為，這表明點(diǎn)恒在直線上.            ………………15分.