【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的負(fù)整數(shù)解有且只有兩個,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】分析:(1)求出,在定義域內(nèi),分別令
求得
的范圍,可得函數(shù)
增區(qū)間,
求得
的范圍,可得函數(shù)
的減區(qū)間;(2)當(dāng)
時,
可化為
,則函數(shù)
的負(fù)整數(shù)解有且只有兩個等價于滿足直線
在曲線
下方時的負(fù)整數(shù)
有且只有兩個,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,由單調(diào)性,可得
有最大值
,結(jié)合函數(shù)圖像可得到結(jié)果.
詳解:(1)當(dāng)時,
,所以
.
由可得:
.
所以 當(dāng)時,
,
是減函數(shù);當(dāng)
時,
,
是增函數(shù).
因為當(dāng)時,
,當(dāng)
時,
.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
,
,
單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)當(dāng)時,
可化為
,則函數(shù)
的負(fù)整數(shù)解有且只有兩個等價于滿足直線
在曲線
下方時的負(fù)整數(shù)
有且只有兩個.
,令
,得
,
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
,
單調(diào)遞減.
有最大值
.
又,當(dāng)
時,
,
,
,
所以,解得
,
所以滿足題意的的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面幾何中,研究三角形內(nèi)任意一點與三邊的關(guān)系時,有真命題:邊長為的正三角形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和是定值
。類比上述命題,請寫出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點與四個面的關(guān)系的一個真命題,并給出證明。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司咪推廣線下分店,計劃在市的
區(qū)開設(shè)分店,為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個數(shù),該公司對該市已開設(shè)分店聽其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記
表示在各區(qū)開設(shè)分店的個數(shù),
表示這個
個分店的年收入之和.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(1)該公司已經(jīng)過初步判斷,可用線性回歸模型擬合與
的關(guān)系,求
關(guān)于
的線性回歸方程
;
(2)假設(shè)該公司在區(qū)獲得的總年利潤
(單位:百萬元)與
之間的關(guān)系為
,請結(jié)合(1)中的線性回歸方程,估算該公司應(yīng)在
區(qū)開設(shè)多少個分店時,才能使
區(qū)平均每個店的年利潤最大?
(參考公式: ,其中
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計劃購買1臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.在購進(jìn)機(jī)器時,可以一次性額外購買幾次維修服務(wù),每次維修服務(wù)費(fèi)用200元,另外實際維修一次還需向維修人員支付小費(fèi),小費(fèi)每次50元.在機(jī)器使用期間,如果維修次數(shù)超過購機(jī)時購買的維修服務(wù)次數(shù),則每維修一次需支付維修服務(wù)費(fèi)用500元,無需支付小費(fèi).現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時一次性購買幾次維修服務(wù),為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),得下面統(tǒng)計表:
維修次數(shù) | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
記x表示1臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),y表示1臺機(jī)器在維修上所需的費(fèi)用(單位:元),表示購機(jī)的同時購買的維修服務(wù)次數(shù).
(1)若=10,求y與x的函數(shù)解析式;
(2)若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8,求n的最小值;
(3)假設(shè)這100臺機(jī)器在購機(jī)的同時每臺都購買10次維修服務(wù),或每臺都購買11次維修服務(wù),分別計算這100臺機(jī)器在維修上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機(jī)器的同時應(yīng)購買10次還是11次維修服務(wù)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)為
上的奇函數(shù),且當(dāng)
時,
.
(1)求在
的解析式;
(2)若,
,試討論
取何值時,
零點的個數(shù)最多?最少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一條小河岸邊有相距的
兩個村莊(村莊視為岸邊上
兩點),在小河另一側(cè)有一集鎮(zhèn)
(集鎮(zhèn)視為點
),
到岸邊的距離
為
,河寬
為
,通過測量可知,
與
的正切值之比為
.當(dāng)?shù)卣疄榉奖愦迕癯鲂,擬在小河上建一座橋
(
分別為兩岸上的點,且
垂直河岸,
在
的左側(cè)),建橋要求:兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和最短,已知
兩村的人口數(shù)分別是
人、
人,假設(shè)一年中每人去集鎮(zhèn)的次數(shù)均為
次.設(shè)
.(小河河岸視為兩條平行直線)
(1)記為一年中兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和,試用
表示
;
(2)試確定的余弦值,使得
最小,從而符合建橋要求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠的固定成本為3萬元,該工廠每生產(chǎn)100臺某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬元,設(shè)生產(chǎn)該產(chǎn)品
(百臺),其總成本為
萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),并且銷售收入
滿足
,假設(shè)該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡,根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)規(guī)律求:
(Ⅰ)要使工廠有盈利,產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在什么范圍?
(Ⅱ)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家張丘建是世界數(shù)學(xué)史上解決不定方程的第一人,他在《張丘建算經(jīng)》中給出一個解不定方程的百雞問題,問題如下:雞翁一,值錢五,雞母一,值錢三,雞雛三,值錢一.百錢買百雞,問雞翁母雛各幾何?用代數(shù)方法表述為:設(shè)雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為,
,
,則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組
的解.其解題過程可用框圖表示如下圖所示,則框圖中正整數(shù)
的值為 ______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點,
及動點
,
的兩邊
所在直線的斜率之積為
.
(1)求動點的軌跡
的方程;
(2)設(shè)是
軸上的一點,若(1)中軌跡
上存在兩點
使得
,求以
為直徑的圓面積的取值范圍.
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