[題目]在平面幾何中.研究三角形內(nèi)任意一點(diǎn)與三邊的關(guān)系時(shí).有真命題:邊長(zhǎng)為的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值.類(lèi)比上述命題.請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)面的關(guān)系的一個(gè)真命題.并給出證明. 題目和參考答案——青夏教育精英家教網(wǎng)—

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【題目】在平面幾何中，研究三角形內(nèi)任意一點(diǎn)與三邊的關(guān)系時(shí)，有真命題：邊長(zhǎng)為的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值。類(lèi)比上述命題，請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)面的關(guān)系的一個(gè)真命題，并給出證明。

【答案】在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和是定值，證明見(jiàn)解析。

【解析】

通過(guò)類(lèi)比，即可得到關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)面的關(guān)系的一個(gè)真命題，利用幾何性質(zhì)即可證明。

類(lèi)比邊長(zhǎng)為的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值，得到正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)面的關(guān)系的一個(gè)真命題：在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和是定值，

如圖：

設(shè)為正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，正四面體的棱長(zhǎng)為，到面，面，面，面的距離分別為，由于正四面體四個(gè)面的面積相等，則有：

，

由于，，所以，

所以棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和為

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（3）以（1）中的頻率估計(jì)100位女生中累計(jì)觀看時(shí)間小于20個(gè)小時(shí)的人數(shù)，已知200位男生中累計(jì)觀看時(shí)間小于20小時(shí)的男生有50人.請(qǐng)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生觀看冬奧會(huì)累計(jì)時(shí)間與性別有關(guān)”.

附：（）.

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(1)將這20位女生的時(shí)間數(shù)據(jù)分成8組,分組區(qū)間分別為，在答題卡上完成頻率分布直方圖；

(2)以(1)中的頻率作為概率,求1名女生觀看冬奧會(huì)時(shí)間不少于30小時(shí)的概率；

(3)以(1)中的頻率估計(jì)100位女生中累計(jì)觀看時(shí)間小于20個(gè)小時(shí)的人數(shù).已知200位男生中累計(jì)觀看時(shí)間小于20小時(shí)的男生有50人請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷是否有99 %的把握認(rèn)為“該校學(xué)生觀看冬奧會(huì)累計(jì)時(shí)間與性別有關(guān)”.

	0.10	0.05	0.010	0.005
	2.706	3.841	6.635	7.879

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