Question

【題目】設(shè)，其中，為個(gè)互不相同的有限集合，滿足對(duì)任意、，均有.若（表示有限集合的元素個(gè)數(shù)），證明：存在，使得屬于中的至少個(gè)集合.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

不妨設(shè).設(shè)在中與不相交的集合有個(gè)，重新記為；

設(shè)包含的集合有個(gè)，重新記為.先證明，再證明.再證明包含的集合個(gè)數(shù)至少為.

不妨設(shè).

設(shè)在中與不相交的集合有個(gè)，重新記為；

設(shè)包含的集合有個(gè)，重新記為.

由已知條件，得，即.

于是，得到一個(gè)映射，.

顯然，為單射.從而，.

設(shè).

在中除去，后，在剩下的個(gè)集合中，設(shè)包含的集合有個(gè)，由于剩下的個(gè)集合中，設(shè)包含的集合有個(gè)，由于剩下的個(gè)集合中每個(gè)集合與的交非空，即包含某個(gè)，從而，

. ①

不妨設(shè).

則由式①知，即在剩下的個(gè)集合中，包含的集合至少有個(gè).

又由于，故均包含.

因此，包含的集合個(gè)數(shù)至少為

.