Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，為的中點，是線段上的一點.

（1）若為的中點，求證：平面平面；

（2）當點在什么位置時，平面.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）為靠近點的三等分點.

【解析】

（1）連接、，由中位線的性質得出，可得出平面，證明四邊形為平行四邊形，可得出，進而得出平面，再利用面面平行的判定定理可證明出平面平面；

（2）連接、，設，利用相似三角形得出，由平面結合線面平行的性質得出，再利用平行線分線段成比例定理可確定點的位置.

（1）如下圖所示，連接、，

因為、分別為、的中點，所以，

平面，平面，所以，平面，

又因為，為的中點，所以，

又，所以四邊形是平行四邊形，，

平面，平面，平面，

又因為平面，平面，，

所以平面平面；

（2）連接、，設，連接，

因為平面，平面，平面平面，

，所以.

在梯形中，，，

又，所以，所以，，

所以為線段上靠近點的三等分點.