Question

【題目】已知圓：，動圓過定點且與圓相切，圓心的軌跡為曲線.

（1）求的方程；

（2）設(shè)斜率為1的直線交于，兩點，交軸于點，軸交于，兩點，若，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得出圓與圓相內(nèi)切,曲線是以點，為焦點的橢圓,繼而求得軌跡方程;

（2）設(shè)：，，，則，與聯(lián)立得.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和兩點的距離公式可得出,由根的判別式得出的范圍,可得出實數(shù)的值.

（1）圓的圓心為，半徑為，點在圓內(nèi)，故圓與圓相內(nèi)切.

設(shè)圓的半徑為，則，，從而.

因為，所以曲線是以點，為焦點的橢圓.

由，，得，故的方程為.

（2）設(shè)：，，，則，

，.

與聯(lián)立得.

當時，即時，.

所以.

由（1）得，所以.

等式可化為.

當且時，.

當時，可以取任意實數(shù).

綜上，實數(shù)的值為.