Question

【題目】已如橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)與其中一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k，k＇.若，求證△OPQ的面積為定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）△OPQ的面積為定值，且此定值為，見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形可知，，根據(jù)求解橢圓方程；（2）當(dāng)與軸垂直時(shí)，設(shè)，代入和橢圓方程，得到面積，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并表示面積，得到面積是定值.

（1）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.依題查，有得，則，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：①當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，.

由，且，解得，或，，所以.

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，.

聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得整理得.

，，.

由，則，即，

所以，

即，整理得，則.

又，

點(diǎn)O到直線PQ的距離為，所以.

綜上，△OPQ的面積為定值，且此定值為.