Question

（2013•湛江一模）甲、乙、丙三名優(yōu)秀的大學(xué)畢業(yè)生參加一所重點中學(xué)的招聘面試，面試合格者可以簽約．甲表示只要面試合格就簽約，乙與丙則約定，兩個面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)每個人面試合格的概率都是P，且面試是否合格互不影響．已知至少有1人面試合格概率為

7

8

．
（1）求P．  
（2）求簽約人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望值．

Answer 1

分析：（1）由至少有1人面試合格概率，利用對立事件的概率求出3人均不合格的概率，再由相互獨立事件同時發(fā)生的概率列式求解；
（2）由題意可知簽約人數(shù)ξ的取值分別是0，1，2，3，求出每種情況的概率，直接利用期望公式求期望．

解答：解：（1）至少1人面試合格概率為

7

8

（包括1人合格 2人合格和3人都合格），這樣都不合格的概率為1-

7

8

=

1

8

．
所以（1-P）³=

1

8

，即P=

1

2

．
（2）簽約人數(shù)ξ取值為0、1、2、3
簽約人數(shù)為0的概率：都不合格（1-

1

2

）³=

1

8

，
甲不合格，乙丙至少一人不合格

1

2

×（1-

1

2

×

1

2

）-（1-

1

2

）³=

1

4

，
簽約人數(shù)為0的概率：

1

8

+

1

4

=

3

8

；
簽約人數(shù)為1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：

1

2

×（1-

1

2

×

1

2

）=

3

8

；
簽約人數(shù)為2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：

1

2

×

1

2

×（1-

1

2

）=

1

8

；
簽約人數(shù)為3的概率：甲乙丙均合格：（

1

2

）³=

1

8

．
分布表：

簽約人數(shù)	0	1	2	3
概率	3 8	3 8	1 8	1 8

數(shù)學(xué)期望：Eξ=0×

3

8

+1×

3

8

+2×

1

8

+3×

1

8

=1．

點評：本題考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查了離散型隨機變量的分布列與期望，離散型隨機變量的期望表征了隨機變量取值的平均值，是中檔題．