Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）求b的值；
（2）用定義法證明函數f（x）在R上是減函數；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．

∴f（0）= =0，解得b=1

（2）解：由（1）可得：f（x）= = ．

x1＜x2，則 ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）= = ＞0，

∴f（x1）＞f（x2）．

∴函數f（x）在R上是減函數

（3）解：∵函數f（x）是R上的奇函數，對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，

∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

∵函數f（x）在R上是減函數，

∴t2﹣2t＞k﹣2t2，

∴k＜3t2﹣2t= ，任意的t∈R恒成立．

∴k ．

因此k的取值范圍是

【解析】（1）利用f（0）=0即可解出；（2）利用減函數的定義即可證明；（3）利用函數的奇偶性、單調性即可解出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．