Question

【題目】已知橢圓： （）過點(diǎn)， 、分別為其左、右焦點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)， 軸，且的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的離心率和方程；

（Ⅱ）設(shè)、是橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，若直線的斜率為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由的面積為，得，結(jié)合求即可；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立， ， 到直線的距離為，結(jié)合韋達(dá)定理得，用均值不等式求最值即可.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)闄E圓： （）過點(diǎn)，所以，由軸，且的面積為，得，所以，即離心率.

因?yàn)?/span>，所以，

由解得（舍負(fù)），故橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，

消去，整理得，

由 ，得，

， ，

故

，

易知點(diǎn)到直線的距離為，

則的面積

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足要求，

故面積的最大值為.