【題目】設(shè)集合
,如果存在
的子集
,
,
同時(shí)滿足如下三個(gè)條件:
①;
②,
,
兩兩交集為空集;
③,則稱集合
具有性質(zhì)
.
(Ⅰ) 已知集合,請(qǐng)判斷集合
是否具有性質(zhì)
,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)設(shè)集合,求證:具有性質(zhì)
的集合
有無(wú)窮多個(gè).
【答案】(Ⅰ)不具有,理由見(jiàn)解析;(Ⅱ)證明見(jiàn)解析
【解析】
(Ⅰ)由條件易得集合具有性質(zhì)
,對(duì)集合
中的
進(jìn)行討論,利用題設(shè)條件得出集合
不具有性質(zhì)
;
(Ⅱ)利用反證法,假設(shè)具有性質(zhì)的集合
有限個(gè),根據(jù)題設(shè)條件得出矛盾,即可證明具有性質(zhì)
的集合
有無(wú)窮多個(gè).
解:(Ⅰ)具有性質(zhì)
,如可取
;
不具有性質(zhì)
;理由如下:
對(duì)于中的元素
,
或者
如果,那么剩下
個(gè)元素
,不滿足條件;
如果,那么剩下
個(gè)元素
,也不滿足條件.
因此,集合不具有性質(zhì)
.
(Ⅱ)證明:假設(shè)符合條件的只有有限個(gè),設(shè)其中元素個(gè)數(shù)最多的為
.
對(duì)于,由題設(shè)可知,存在
,
滿足條件. 構(gòu)造如下集合
由于
所以
易驗(yàn)證,
,
對(duì)集合
滿足條件,而
也就是說(shuō)存在比的元素個(gè)數(shù)更多的集合
具有性質(zhì)
,與假設(shè)矛盾.
因此具有性質(zhì)的集合
有無(wú)窮多個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2014年7月18日15時(shí),超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“威馬遜”登陸海南省.據(jù)統(tǒng)計(jì),本次臺(tái)風(fēng)造成全省直接經(jīng)濟(jì)損失119.52億元,適逢暑假,小明調(diào)查住在自己小區(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,作出如下頻率分布直方圖:
經(jīng)濟(jì)損失4000元以下 | 經(jīng)濟(jì)損失4000元以上 | 合計(jì) | |
捐款超過(guò)500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合計(jì) |
(1)臺(tái)風(fēng)后區(qū)委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如上表,在表格空白處填寫正確數(shù)字,并說(shuō)明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)?
(2)臺(tái)風(fēng)造成了小區(qū)多戶居民門窗損壞,若小區(qū)所有居民的門窗均由李師傅和張師傅兩人進(jìn)行維修,李師傅每天早上在7:00到8:00之間的任意時(shí)刻來(lái)到小區(qū),張師傅每天早上在7:30到8:30分之間的任意時(shí)刻來(lái)到小區(qū),求連續(xù)3天內(nèi),李師傅比張師傅早到小區(qū)的天數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:臨界值表
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
參考公式:,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)盒子中有5只同型號(hào)的燈泡,其中有3只一等品,2只二等品,現(xiàn)在從中依次取出2只,設(shè)每只燈泡被取到的可能性都相同,請(qǐng)用“列舉法”解答下列問(wèn)題:
(Ⅰ)求第一次取到二等品,且第二次取到的是一等品的概率;
(Ⅱ)求至少有一次取到二等品的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
、
,離心率為
,過(guò)焦點(diǎn)
且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.
Ⅰ
求橢圓C的方程;
Ⅱ
點(diǎn)
為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),連接
,
,設(shè)
的角平分線PM交橢圓C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)
,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓的圓心為
,
為圓上任意一點(diǎn),
,線段
的垂直平分線交
于點(diǎn)
.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線
,點(diǎn)
,
.若點(diǎn)
為直線
上一動(dòng)點(diǎn),且
不在
軸上,直線
、
分別交曲線
于
、
兩點(diǎn),求四邊形
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,離心率等于
,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線
的準(zhǔn)線上.
求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
點(diǎn)
,
在橢圓上,
是橢圓上位于直線
兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)
當(dāng)
運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足
,試問(wèn)直線
的斜率是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,拋物線
的焦點(diǎn)是
,
是拋物線上的點(diǎn),H為直線
上任一點(diǎn),A,B分別為橢圓C的上下頂點(diǎn),且A,B,H三點(diǎn)的連線可以構(gòu)成三角形.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)直線HA,HB與橢圓C的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E,求證:直線DE過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,左、右焦點(diǎn)分別是
,
,
點(diǎn)在橢圓上,且滿足
的
點(diǎn)只有兩個(gè).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線
交橢圓
于
,
兩點(diǎn),在
軸上是否存在一點(diǎn)
,使得
的角平分線是
軸?若存在求出
,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,橢圓離心率為
,
、
是橢圓C的短軸端點(diǎn),且
到焦點(diǎn)的距離為
,點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)M不與
、
重合,點(diǎn)N滿足
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求四邊形面積的最大值.
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