Question

【題目】設(shè)集合 ，如果存在的子集，，同時(shí)滿(mǎn)足如下三個(gè)條件：

①；

②，，兩兩交集為空集；

③，則稱(chēng)集合具有性質(zhì).

（Ⅰ） 已知集合，請(qǐng)判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）設(shè)集合，求證：具有性質(zhì)的集合有無(wú)窮多個(gè).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）不具有，理由見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）由條件易得集合具有性質(zhì)，對(duì)集合中的進(jìn)行討論，利用題設(shè)條件得出集合不具有性質(zhì)；

（Ⅱ）利用反證法，假設(shè)具有性質(zhì)的集合有限個(gè)，根據(jù)題設(shè)條件得出矛盾，即可證明具有性質(zhì)的集合有無(wú)窮多個(gè).

解：(Ⅰ)具有性質(zhì)，如可取；

不具有性質(zhì)；理由如下：

對(duì)于中的元素，或者

如果，那么剩下個(gè)元素，不滿(mǎn)足條件；

如果，那么剩下個(gè)元素，也不滿(mǎn)足條件．

因此，集合不具有性質(zhì).

（Ⅱ）證明：假設(shè)符合條件的只有有限個(gè)，設(shè)其中元素個(gè)數(shù)最多的為.

對(duì)于，由題設(shè)可知，存在，滿(mǎn)足條件. 構(gòu)造如下集合

由于

所以

易驗(yàn)證，，對(duì)集合滿(mǎn)足條件，而

也就是說(shuō)存在比的元素個(gè)數(shù)更多的集合具有性質(zhì)，與假設(shè)矛盾．

因此具有性質(zhì)的集合有無(wú)窮多個(gè).