Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足x＞0時，f（x）+xf'（x）＞0，f（2）=0，則不等式f（x）＞0的解集為 ．

Answer 1

【答案】（﹣2,0）∪（2,+∞）
【解析】解：根據(jù)題意，令g（x）=xf（x），則其導(dǎo)數(shù)g′（x）=f（x）+xf'（x），

又由當(dāng)x＞0時，f（x）滿足f（x）+xf'（x）＞0，則有g(shù)′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

若f（2）=0，則g（2）=2f（2）=0，

函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

則在（0，2）上，g（x）=xf（x）＜0，在（2，+∞）上，g（x）=xf（x）＞0，

又由x＞0，則有在（0，2）上，f（x）＜0，在（2，+∞）上，f（x）＞0，

又由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

則在（﹣2，0）上，f（x）＞0，在（﹣∞，﹣2）上，f（x）＜0，

綜合可得：不等式f（x）＞0的解集為（﹣2，0）∪（2，+∞）

所以答案是：（﹣2，0）∪（2，+∞）

【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．