Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣3ax． （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為2，求實數(shù)a；
（Ⅱ）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]的最值及所對應的x的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x3﹣3ax∴f′（x）=3x2﹣3a
因為函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為2，
∴f′（1）=3﹣3a=2，
∴a=
（Ⅱ）由a=1，得：函數(shù)f（x）=x3﹣3x
則：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）
令f′（x）=0，則x=1或x=﹣1

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		﹣	0	+
f（x）	0	單調(diào)遞減	極小值﹣2	單調(diào)遞增	18

故：當x=1時，f（x）min=f（1）=﹣2；
當x=3時，f（x）max=f（3）=18
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，利用在x=1處的切線斜率為2，列出方程即可求實數(shù)a；（Ⅱ）通過a=1，求出函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，然后求解函數(shù)的最值以及x的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．