Question

已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：恒成立..

Answer 1

(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，(2)詳見解析.

試題分析：(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，有四個(gè)步驟.一是求定義域，二是求導(dǎo)數(shù)為零的根，由得，三是分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，四是根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)寫出單調(diào)區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，.(2)證明不等式恒成立問題一般化為函數(shù)最值問題.可以直接求函數(shù)的最小值，也可將與分離，求函數(shù)的最小值.兩種思路都簡(jiǎn)潔，實(shí)質(zhì)都一樣，就是求最小值.
試題解析：解：
(1)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042819800566.png" style="vertical-align:middle;" />                  1分
                  2分
令，得                  3分
與的情況如下：

		0
	↘	極小值	↗

                5分
所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為             6分
(2)證明1：
設(shè)，                  7分
               8分
與的情況如下：

		1
		0
	↘	極小值	↗

所以，即
在時(shí)恒成立，           10分
所以，當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
所以，當(dāng)時(shí)，有.            13分
證明2：
令                 7分
                 8分
令，得                 9分
與的情況如下：

		0
	↘	極小值	↗

          10分
的最小值為         -11分
當(dāng)時(shí)，，所以
故              -12分
即當(dāng)時(shí)，.                  13分