Question

【題目】設函數(shù)f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）= ，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）證明：當x＞1時，g（x）＞0；
（3）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣ = （x＞0），

當a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，則f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)；

當a＞0時，由f′（x）=0，得x= = ，

∴當x∈（0， ）時，f′（x）＜0，當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＞0，

則f（x）在（0， ）上為減函數(shù)，在（ ，+∞）上為增函數(shù)；

綜上，當a≤0時，f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，當a＞0時，f（x）在（0， ）上為減函數(shù)，在（ ，+∞）上為增函數(shù)；

（2）

證明：要證g（x）＞0（x＞1），即 ＞0，

即證 ，也就是證 ，

令h（x）= ，則h′（x）= ，

∴h（x）在（1，+∞）上單調遞增，則h（x）min=h（1）=e，

即當x＞1時，h（x）＞e，∴當x＞1時，g（x）＞0；

（3）

解：由f（x）＞g（x），得 ，

設t（x）= ，

由題意知，t（x）＞0在（1，+∞）內恒成立，

∵t（1）=0，

∴有t′（x）=2ax = ≥0在（1，+∞）內恒成立，

令φ（x）= ，

則φ′（x）= = ，

當x≥2時，φ′（x）＞0，

令h（x）= ，h′（x）= ，函數(shù)在[1，2）上單調遞增，∴h（x）min=h（1）=﹣1．

又2a≥1，e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，

綜上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在區(qū)間（1，+∞）單調遞增，

∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在區(qū)間（1，+∞）單調遞增，

∴a≥ ．

【解析】（1）求導數(shù)，分類討論，即可討論f（x）的單調性；
（2）要證g（x）＞0（x＞1），即 ﹣ ＞0，即證 ，也就是證 ；
（3）由f（x）＞g（x），得 ，設t（x）= ，由題意知，t（x）＞0在（1，+∞）內恒成立，再構造函數(shù)，求導數(shù)，即可確定a的取值范圍；
本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性，不等式的證明，考查恒成立成立問題，正確構造函數(shù)，求導數(shù)是關鍵．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的奇偶性的相關知識，掌握偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，以及對利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的理解，了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減．