Question

【題目】已知橢圓E的方程為（），，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，A，B為橢圓E上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上異于A，B一點(diǎn)，直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率和滿(mǎn)足：.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)作直線(xiàn)l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且（），求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)，，則，代入橢圓的方程相減得到，再結(jié)合，求得，即可得到橢圓方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、弦長(zhǎng)公式和三角形的面積公式，求得的面積的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求解.

（1）由題意，設(shè)，，則，

由于，，兩式相減可得，

又由，解得，

所以橢圓方程為.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立，消去x得，，

設(shè)，，則，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以O到直線(xiàn)的距離即為點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離，

點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離，

所以的面積，

令（），

則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

所以的面積取值范圍為.