Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對角線與的交點為，四邊形為梯形， .

（Ⅰ）若，求證： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若， ， ，求與平面所成角.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析；（III）.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，證明為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即可證明平面；（2）先證明， ，可證明平面，從而可證明平面平面；（3）做于為與平面所成角，根據(jù)余弦定理及等腰三角形性質即可求與平面所成角.

試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點，連接， .

∵對角線與的交點為，

∴，

∵，∴，∴為平行四邊形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面；

（Ⅱ）證明：∵四邊形為菱形，

∴，

∵， 是的中點，

∴，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面；

（Ⅲ）

作于.

∵平面平面，∴平面，

∴為與平面所成角，

由題意， 為正三角形， ，

∵，

∴為正三角形，∴.

中，由余弦定理可得，

∴，

∴，

∴與平面所成角.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（Ⅰ）是就是利用方法①證明的.