【題目】已知直線
過橢圓
的右焦點且與橢圓
交于
兩點， 
為
中點， 
的斜率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設(shè)
是橢圓
的動弦，且其斜率為1，問橢圓
上是否存在定點
，使得直線
的斜率
滿足
？若存在，求出點
的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
.（2）
或
滿足題意.
【解析】試題分析：（1）由已知得，橢圓
的半焦距
，
設(shè)
， 
， 
，由
在橢圓
上列出方程組，得到
，
進而求得
，再根據(jù)
，解得
的值，即可得到橢圓的方程；
（2）假設(shè)
上存在定點
滿足題意，設(shè)直線
方程為
，聯(lián)立方程組，得
， 
，由
，代入化簡得
，又由它與
無關(guān)，即可得橢圓
上存在點
或
滿足題意.
試題解析：
（1）由已知得，橢圓
的半焦距
，
設(shè)
， 
， 
，則
， 
，又由
在橢圓
上得
，兩式相減得
，所以
，
而
，所以
又
，所以
， 
，
所以橢圓
的方程為
.
（2）假設(shè)
上存在定點
滿足題意，并設(shè)直線
方程為
，
， 
，聯(lián)立
，消
得
，則
， 
，
由
，得
，將
， 
，代入并化簡得
，
將
， 
代入并化簡得
，
由它與
無關(guān)，只需
，解得
，或
，
而這兩點恰好在橢圓
上，從而假設(shè)成立，
即在橢圓
上存在點
或
滿足題意.
黃岡經(jīng)典趣味課堂系列答案
啟東小題作業(yè)本系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在棱長為1的正方體
中，點
， 
分別是側(cè)面
與底面
的中心，則下列命題中錯誤的個數(shù)為（ ）
①
平面
； ②異面直線
與
所成角為
；
③
與平面
垂直； ④
．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】對于①，∵DF
，DF
平面
， 
平面
，∴
平面
，正確；
對于②，∵DF
，∴異面直線
與
所成角即異面直線
與
所成角，△
為等邊三角形，故異面直線
與
所成角為
，正確；
對于③，∵
⊥
， 
⊥CD，且
CD=D，∴
⊥平面
，即
⊥平面
正確；
對于④，
，正確，
故選：A
【題型】單選題
【結(jié)束】
8
【題目】已知函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，則實數(shù)
的取值范圍是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知圓C與y軸相切于點T(0,2)，與x軸的正半軸交于兩點
(點
在點
的左側(cè))，且
.
(1)求圓C的方程；(2)過點
任作一直線與圓O： 
相交于
兩點，連接
，求證： 
定值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】函數(shù)f（x）的定義域為[﹣1，1]，圖象如圖1所示；函數(shù)g（x）的定義域為[﹣2，2]，圖象如圖2所示，設(shè)函數(shù)f（g（x））有m個零點，函數(shù)g（f（x））有n個零點，則m+n等于（ �。�
A. 6 B. 10 C. 8 D. 1
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量
（單位：噸）對價格
（單位：千元/噸）和利潤
的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 7.0 | 6.5 | 5.5 | 3.8 | 2.2 |
已知
和
具有線性相關(guān)關(guān)系.
（Ⅰ）求
關(guān)于
的線性回歸方程
；
（Ⅱ）若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當年產(chǎn)量為多少噸時，年利潤
取到最大值？（保留一位小數(shù)）
參考數(shù)據(jù)及公式： 
， 
，
， 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】北京大學(xué)從參加逐夢計劃自主招生考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六組
， 
，…， 
后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：
（1）求分數(shù)在
內(nèi)的頻率；
（2）估計本次考試成績的中位數(shù)（結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）；
（3）用分層抽樣的方法在分數(shù)段為
的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有
人在分數(shù)段
內(nèi)的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在幾何體中，四邊形
為菱形，對角線
與
的交點為
，四邊形
為梯形， 
.
（Ⅰ）若
，求證： 
平面
；
（Ⅱ）求證：平面
平面
；
（Ⅲ）若
， 
， 
，求
與平面
所成角.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中， 
的兩個頂點
的坐標分別為
，三個內(nèi)角
滿足
.
（1）若頂點
的軌跡為
，求曲線
的方程；
（2）若點
為曲線
上的一點，過點
作曲線
的切線交圓
于不同的兩點
（其中
在
的右側(cè)），求四邊形
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
與直線
相切.
（1）求圓
的方程；
（2）求直線
截圓所得弦
的長；
（3）過點
作兩條直線與圓相切，切點分別為
，求直線
的方程.
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