Question

如圖,四棱柱的底面是平行四邊形,且,,,為的中點(diǎn),平面.

(Ⅰ)證明:平面平面；
(Ⅱ)若,試求異面直線與所成角的余弦值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試求二面角的余弦值.

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

解析試題分析：(Ⅰ)證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直問(wèn)題，即某一個(gè)平面中的某條直線垂直于另一個(gè)平面.然后將線面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題，即該直線與平面中的兩條相交直線垂直.在本題中，我們選取的是平面中的直線，因?yàn)橐字?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0b/0/1fihr2.png" style="vertical-align:middle;" />，那么只需要在平面再找一條直線垂直于即可.因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/08/1/5zx8t.png" style="vertical-align:middle;" />是平行四邊形,且,,,為的中點(diǎn)，所以可以證，從而得證；(Ⅱ)求異面直線所成角，一般將兩條異面直線平移到一個(gè)公共點(diǎn)上以便求出其夾角.這里，我們選擇將直線平移至點(diǎn)，所以需要取的中點(diǎn),連接，易知即所求，將其放在求出余弦值.(Ⅲ)二面角的余弦值可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系用向量來(lái)解決.其中前兩問(wèn)又可以用向量來(lái)解決.第一問(wèn)的面面垂直可以用兩個(gè)平面的法向量垂直來(lái)證明，即法向量的數(shù)量積為0，第二問(wèn)用向量的夾角公式直接解出（需注意異面直線角的范圍）.二面角同樣可以用兩個(gè)半平面的法向量的夾角解決，不過(guò)這里要注意所求的二面角是銳角還是鈍角，從而選擇是法向量夾角還是其補(bǔ)角為所求.
試題解析：(Ⅰ)依題意,,
所以是正三角形,
又 
所以,     2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/36/1/2kjct.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以     3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/99/c/1nbxx3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以平面     4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f0/3/jficx1.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以平面平面      5分
(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接、,連接,則
所以是異面直線與所成的角      7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/eb/e/sv1pa.png" style="vertical-align:middle;" />,,
所以,, 
所以     9分
解法2：以為原點(diǎn)，過(guò)且垂直于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立右手空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)
則，，
(Ⅰ)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則
，取