Question

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù).）

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個零點， 時，證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，對進行分類討論，確定在不同情況下導(dǎo)函數(shù)的符號，進而可得函數(shù)的單調(diào)性．
（2）先求出，令，求出，問題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

試題解析：（1）解：因為，

當(dāng)時，令得，所以當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， 恒成立，故此時函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（2）證明：當(dāng)時，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個零點，所以，

設(shè)函數(shù)的兩個零點為， ，且. 由題意得： ， ②-①得：

令 ，則 ∴③可化為：

要證： 只需證：

即證：

構(gòu)造函數(shù) ，則

在單調(diào)遞增，