Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：AP∥平面BDE；
（2）求證：BE⊥平面PAC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE．根據(jù)ABCD為矩形，推斷O是AC的中點(diǎn)，同時(shí)E是PC中點(diǎn)，推斷出OE為中位線，即OE∥AP，再根據(jù)線面平行的判定定理AP?平面BDE，OE?平面BDE，推斷出AP∥平面BDE．                              
（2）根據(jù)已知平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，推斷BC⊥平面PAB．進(jìn)而利用線面垂直性質(zhì)知BC⊥PA，根據(jù)PB⊥PA，BC∩PB=B，BC，PB?平面PBC，推斷出PA⊥平面PBC．進(jìn)而知PA⊥BE，根據(jù)BP=PC，且E為PC中點(diǎn)，可知BE⊥PC，最后利用線面垂直的判定定理推斷出BE⊥平面PAC．

解答： 證明：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴O是AC的中點(diǎn)．
∵E是PC中點(diǎn)，
∴OE∥AP．                 
∵AP?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AP∥平面BDE．                              
（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PAB．                              
∵AP?平面PAB，
∴BC⊥PA．
∵PB⊥PA，BC∩PB=B，BC，PB?平面PBC，
∴PA⊥平面PBC．                            
∵BE?平面PBC，
∴PA⊥BE．
∵BP=PC，且E為PC中點(diǎn)，
∴BE⊥PC．
∵PA∩PC=P，PA，PC?平面PAC，
∴BE⊥平面PAC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間位置關(guān)系中，線面平行，線面垂直的判定．注意對(duì)線面平行，線面垂直的判定定理靈活運(yùn)用，對(duì)線面平行和線面垂直的性質(zhì)能熟練掌握．