Question

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA面ABEF，且DA=1，AB//EF，，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點(diǎn)．

（1）求證：PQ//平面BCE；
（2）求證：AM平面ADF；
（3）求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer 1

(1) 證明：見解析；（2）見解析；（3）.

解析試題分析：(1) 證明：連接AC,根據(jù)四邊形ABCD是矩形，Q是BD的中點(diǎn)，從而Q為AC的中點(diǎn)，又在中，P是AE的中點(diǎn)，得到PQ//EC，即得證.
（2）通過確定,及，得出四邊形是平行四邊形.
進(jìn)一步得出S是直角三角形且. .
又由，及，得到.
（3）通過以A為坐標(biāo)原點(diǎn)。以AM,AF,AD所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
將問題轉(zhuǎn)化成空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，解答過程較為常規(guī)，注意確定平面的法向量，研究其夾角的余弦得解.應(yīng)注意結(jié)合圖象，確定所求角余弦值的正負(fù).
試題解析：(1) 證明：連接AC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，Q是BD的中點(diǎn)，所以，Q為AC的中點(diǎn)，又在中，P是AE的中點(diǎn)，所以PQ//EC，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/81/9/zmmbr.png" style="vertical-align:middle;" />.
（2）因?yàn)镸是EF的中點(diǎn)，所以，,
又，所以，四邊形是平行四邊形.
所以，，
又所以，S是直角三角形且. .
又，所以，，由，
所以，.
（3）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)。以AM,AF,AD所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則A（0,0,0），D（0,0,1），M（2,0,0），F(xiàn)（0,2,0）
可得.
設(shè)平面DEF的法向量為，則.
故令，則，，所以，是平面DEF的一個(gè)法向量.
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/3/dx4ux1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，S是平面的一個(gè)法向量.
所以，.
由圖可知，所求二面角是銳二面角，所以二面角A-DF-E的余弦值是.
考點(diǎn)：平行關(guān)系，垂直關(guān)系，二面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用.