Question

已知函數(shù)f(x)對于任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x>0時,f(x)<0,f(1)=-.

(1)求證:f(x)在R上是減函數(shù).

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

 

Answer 1

(1)見解析 (2) 最大值為2,最小值為-2

【解析】(1)方法一:∵函數(shù)f(x)對于任意x,y∈R總有f(x)+f(y)=f(x+y),

∴令x=y=0,得f(0)=0.

再令y=-x,得f(-x)=-f(x).

在R上任取x1>x2,則x1-x2>0,

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).

又∵x>0時,f(x)<0,而x1-x2>0,

∴f(x1-x2)<0,

即f(x1)<f(x2).

因此f(x)在R上是減函數(shù).

方法二:設x1>x2,

則f(x1)-f(x2)

=f(x1-x2+x2)-f(x2)

=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)

=f(x1-x2).

又∵x>0時,f(x)<0,而x1-x2>0,

∴f(x1-x2)<0,

即f(x1)<f(x2),

∴f(x)在R上為減函數(shù).

(2)∵f(x)在R上是減函數(shù),

∴f(x)在[-3,3]上也是減函數(shù),

∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分別為f(-3)與f(3).

而f(3)=3f(1)=-2,f (-3)=-f(3)=2.

∴f(x)在[-3,3]上的最大值為2,最小值為-2.