Question

【題目】橢圓與的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)分別在軸與軸上，它們有相同的離心率，并且的短軸為的長(zhǎng)軸，與的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積是.

(1)求橢圓與的方程；

(2)設(shè)是橢圓上非頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，與橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)，的連線，分別與橢圓交于，點(diǎn).

(i)求證：直線，斜率之積為常數(shù)；

(ii)直線與直線的斜率之積是否為常數(shù)？若是，求出該值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)，.(2)(i) 見解析(ii).

【解析】

試題（1）橢圓離心率，又，所以，設(shè)，則根據(jù)題中條件可設(shè)，于是根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，面積，解得，可以得到橢圓，；（2）(i)本問考查圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題，分析題意，設(shè)，而，，所以，，于是，又因?yàn)?/span>，代入上式易求；(ii)根據(jù)(i)問，可先證明為定值，再證明為定值，于是可以得到為定值，由于，，所以可以得為定值.

試題解析：(1)依題意，設(shè)，，由對(duì)稱性，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，且面積，解得：.

所以橢圓，.

(2)(i)設(shè)，則，，.

，.

所以：.

直線，斜率之積為常數(shù).

(ii)設(shè)，則.

，，

所以：，同理：，

所以：，由，，結(jié)合(i)有

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