Question

【題目】已知函數(shù)， （）

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，對于任意， ，總有成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】試題分析：（I）先求導(dǎo)，由此，對進(jìn)行分類討論， 時(shí)，開口向下， 時(shí)，開口向上，分別畫出對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的圖象，從而得出單調(diào)區(qū)間.（II）由（I）當(dāng)時(shí)， 在是正函數(shù)，在上為減函數(shù). .用（I）的方法，對求導(dǎo)后進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立即可.

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù)f （x）的定義域?yàn)?/span>R，f ′（x）＝＝.

當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f ′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（－∞，－1）	－1	（－1，1）	1	（1，＋∞）
f ′（x）	－	0	＋	0	－
f （x）	↘		↗		↘

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f ′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（－∞，－1）	－1	（－1，1）	1	（1，＋∞）
f ′（x）	＋	0	－	0	＋
f （x）	↗		↘		↗

綜上所述，

當(dāng)a>0時(shí)，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－1），（1，＋∞）；

當(dāng)a<0時(shí)，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－1），（1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（－1，1）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)a>0時(shí)，f （x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，f （x）>f （0）＝a；

f （x）在區(qū)間（1，e]上單調(diào)遞減，且f （e）＝＋a>a，所以當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f （x）>a.

因?yàn)?/span>g（x）＝aln x－x，所以g′（x）＝－1，令g′（x）＝0，得x＝a.

①當(dāng)a≥e時(shí)，g′（x）≥0在區(qū)間（0，e]上恒成立，

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞增，所以g（x）max＝g（e）＝a－e<a.

所以對于任意x1，x2∈（0，span>e]，仍有g（x1）<f（x2）．

②當(dāng)0<a<e時(shí)，由g′（x）>0，得0<x<a；由g′（x）<0，得e≥x>a，所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（a，e]上單調(diào)遞減．所以g（x）max＝g（a）＝aln a－a.

因?yàn)?/span>a－（aln a－a）＝a（2－ln a）>a（2－ln e）＝a>0，

所以對任意x1，x2∈（0，e]，總有g（x1）<f （x2）．

綜上所述，對于任意x1，x2∈（0，e]，總有g（x1）<f （x2）．