Question

已知函數φ(x)=

a

x+1

，a為正常數．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=

9

2

，求函數f（x）的單調增區(qū)間；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，即可得到答案．
（2）設h（x）=g（x）+x，依題意得出h（x）在（0，2]上是減函數．下面對x分類討論：①當1≤x≤2時，②當0＜x＜1時，利用導數研究函數的單調性從及最值，即可求得求a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，（2分）
∵a=

9

2

，令f′（x）＞0，得x＞2，或x＜

1

2

，
∴函數f（x）的單調增區(qū)間為(0，

1

2

)，（2，+∞）．（6分）
（2）∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，
∴

g(x2)-g(x1)

x2-x1

+1＜0，
∴

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0，（8分）
設h（x）=g（x）+x，依題意，h（x）在（0，2]上是減函數．
當1≤x≤2時，h(x)=lnx+

a

x+1

+x，h′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

+1，
令h′（x）≤0，得：a≥

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+3x+

1

x

+3對x∈[1，2]恒成立，
設m(x)=x2+3x+

1

x

+3，則m′(x)=2x+3-

1

x2

，
∵1≤x≤2，∴m′(x)=2x+3-

1

x2

＞0，
∴m（x）在[1，2]上遞增，則當x=2時，m（x）有最大值為

27

2

，
∴a≥

27

2

（12分）
當0＜x＜1時，h(x)=-lnx+

a

x+1

+x，h′(x)=-

1

x

-

a

(x+1)2

+1，
令h′（x）≤0，得：a≥-

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+x-

1

x

-1，
設t(x)=x2+x-

1

x

-1，則t′(x)=2x+1+

1

x2

＞0，
∴t（x）在（0，1）上是增函數，
∴t（x）＜t（1）=0，
∴a≥0，（15分）綜上所述，a≥

27

2

（16分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．