Question

(本小題滿分14分)如圖，在長方體中，，，點在棱上移動．

⑴ 證明：//平面；
⑵證明：⊥；
⑶ 當(dāng)為的中點時，求四棱錐的體積.

Answer 1

(1)證明：見解析；(2) 證明：見解析；(3) E-ACD₁的體積為．

試題分析：（1）利用線線平行的來證明線面平行。
（2）由AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D?平面AA₁DD₁，知A₁D⊥AE，再由AA₁DD₁為正方形，利用直線與平面垂直的性質(zhì)，能夠證明A₁D⊥D₁E．
（3） 設(shè)點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，先求出△AD₁C和△ACE的面積，再求出三棱錐D₁-AEC的體積，由此能夠求出點E到面ACD₁的距離．進(jìn)而得到體積。
(1)證明：∵ ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體
∴AB// D₁C₁，AB=D₁C₁，   ……1分
∴AB C₁ D₁為平行四邊形，……2分
∴B C₁ // AD₁，         ……3分
又B C₁平面ACD₁，AD₁Ì平面ACD₁， ……4分
所以BC₁//平面ACD₁.   ……5分
(2) 證明：∵ AE⊥平面AA₁D₁D，A₁DÌ平面AA₁D₁D，
∴ A₁D⊥AE，                         ……6分
AA₁D₁D為正方形，∴A₁D⊥A D₁，                                 ……7分
又A₁D∩AE =A，∴A₁D⊥平面AD₁E，                               ……9分
A₁DÌ平面AD₁E，∴A₁D⊥D₁E，                                   ……10分
(3) 解：，      ……12分
                          ……13分
所以E-ACD₁的體積為．                                 ……14分
點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于線面平行的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理的靈活運用和熟練掌握，同時對于體積的求解，一般就是研究幾何體的高既可以得到。