Question

（本小題滿分10分）
如圖，在三棱錐中，底面， 點(diǎn)，分別在棱上，且 
    
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的正弦值；

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）與平面所成的角的正弦值為。

本試題主要是考查了線面垂直的判定定理的運(yùn)用，以及線面角的求解的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知條件，PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.
（2）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，
∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，然后借助于三角形得到求解。
解法1（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴與平面所成的角的正弦值為

解法2如圖，以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，由已知可得
.
（Ⅰ）∵，     
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，∴E為PC的中點(diǎn)，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴與平面所成的角的正弦值為