Question

設(shè)x＞0，y＞0，x²+y²=1，則x+y的最大值是

 

．

Answer 1

分析：由x＞0，y＞0，x²+y²=1，令x=cosα，y=sinα，α∈(0，

1

2

π)，利用輔助角公式可得，x+y=cosα+sinα=

2

sin(α+

π

4

)由0＜α＜

1

2

π 可得

π

4

＜α+

π

4

＜

3π

4

，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：由x＞0，y＞0，x²+y²=1，令x=cosα，y=sinα，α∈(0，

1

2

π)
∴x+y=cosα+sinα=

2

sin(α+

π

4

)
∵0＜α＜

1

2

π∴

π

4

＜α+

π

4

＜

3π

4

∴

2

2

＜ sin(α+ 

π

4

 )≤1
∴1＜x+y≤

2

故答案為：

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用三角函數(shù)的換元求解函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，屬于知識(shí)的簡單綜合．