Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D為AB的中點，AC=BC=BB₁．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅱ）求證：BC₁⊥AB₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC₁與CA₁相交于O，連DO，根據(jù)已知可判斷出AA₁C₁C是正方形，進而可知AO=OC₁，又通過D為AB的中點，判斷出OD∥BC₁，利用線面判定定理證明出EF∥平面CA₁D，
（Ⅱ）連接B₁C，根據(jù)已知推斷出BB₁C₁C是正方形，進而可知B₁C⊥BC₁，由因為AC⊥BC，且CC₁⊥AC，推斷出AC⊥平面BB₁C₁C，則AC⊥BC₁，根據(jù)AC與B₁C相交，進而判斷出BC₁⊥平面AB₁C，最后利用線面垂直的性質(zhì)可推斷出BC₁⊥AB₁．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC₁與CA₁相交于O，連DO
∵AC=BC=BB₁．
∴AA₁C₁C是正方形，
∴AO=OC₁，
又∵D為AB的中點，
∴OD∥BC₁，
∵BC₁?平面CA₁D，OD?平面CA₁D，
∴BC₁∥平面CA₁D，
（Ⅱ）連接B₁C，
∵BB₁C₁C是正方形，
∴B₁C⊥BC₁，
∵AC⊥BC，且CC₁⊥AC，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，
∴AC⊥BC₁，
∵AC與B₁C相交，
∴BC₁⊥平面AB₁C，
∴BC₁⊥AB₁．

點評：本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)等知識．注重了對學(xué)生基礎(chǔ)知識的考查．