Question

【題目】已知函數(shù)（為實數(shù)常數(shù)）

（1）當時，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，成立，求證：．

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．(2)證明見解析

【解析】

（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解不等式與，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，由等價于恒成立，再分別討論：①當時，②當時，③當時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值從而得解.

解：（1）因為，所以，

當時，由得，解得，

由得，解得，

所以函數(shù)在的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（2）當時，由得

即恒成立（*），

設(shè)，則，由題可知

①當時，，所以在上單調(diào)遞增，

，可知且時，，使得，可知（*）式不成立，則不符合條件；

②當時，，所以在上單調(diào)遞減，

，可知（*）式成立，則符合條件，所以成立；

③當時，由得，由得，

所以在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞減，

所以，由（*）式得，

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，

而，，可知．

綜上所述，．